Бифуркация

Притча об осле

Проиллюстрировать сложные понятия легче всего на простых и жизненных примерах. Кто не помнит притчу про буриданова осла, напомним.

Французский философ и логик XIV века Жан Буридан в своих трудах ставил следующую задачу. Осел, его хозяин и философ – действующие лица. Предмет выбора – две одинаковые кучи сена, которые находятся на равном расстоянии от осла. Вопрос – какую кучу выберет осел? Три дня наблюдали люди за ослом, и, наверное, умерли бы с голода все, если бы хозяин не сжалился над животным и не сдвинул все кучи вместе.

В контексте бифуркации конец басни нас не интересует. Остановимся на моменте, когда осел стоит перед равнозначным выбором. Любое малейшее изменение может повернуть осла к той или иной куче при прочих равных (например, заснув, осел сменит положение и окажется ближе к одной из куч сена).

В теории бифуркаций: осел – система в точке бифуркации, изменение положения – флуктуации (возмущение) системы, две кучи сена – аттракторы (возможные устойчивые состояния системы после прохождения точки бифуркации).

Точка бифуркации в психологии

Точка бифуркации в данной системе научных знаний называется еще правилом нужного момента. Это короткий момент, когда человек может что-либо сделать или не сделать. Ситуация может измениться в одном или в другом направлении. И именно в точке бифуркации наименьшее подталкивание может привести к желаемому результату.

Иначе еще говорят, что это момент своевременной просьбы.

Прием нужного момента широко используется в детской педагогике и в психологии семейных отношений. Да и в любой сфере это правило работает, и о нем нужно помнить.

Пример из психологии животных. Когда котенок приучится писать в горшок, вы будете наказывать его через час после пакости или когда поймаете на месте преступления? Механизм прост и ясен – в отношении людей все то же, только без насилия.

Что такое бифуркация простыми словами

Термин бифуркация произошел от латинского bifurcus(«раздвоенный»). В основе значения понятия лежат множественные преобразования или метаморфозы все возможных объектов по средству происходящего процесса изменения значимых параметров.

Для общего понимания понятия рассмотрим следующие примеры бифуркации:

1. В биологии это симметричное деление бронхиального дерева, либо преобразование одного сосуда в два, равных по диаметру.
2. В географии это расхождение русла реки на два разнонаправленных рукава.
3. В научной фантастике в качестве примера можно привести параллельные разновременные отрезки, отвечающие за важные события, происходящие с персонажем.
4. В образовании бифуркация понимается как разные учебно-методические направления одного класса.
5. В жизни среднестатистического человека выступает в качестве кризисного момента, после которого полностью меняется образ жизни индивида.

Как проводится диагностика

Диагностика патологического процесса в области бифукрации корней зуба включает в себя несколько исследований. Обязательно проводится рентгенологическое обследование – более информативна здесь именно компьютерная томография, которая показывает мельчайшие изменения. Также стоматолог проводит зондирование десневого кармана (в норме десна не должна отходить от зуба более чем на 3 мм).

Важно знать! При необходимости снимается искусственная коронка или убирается старая пломба и зубная полость изучается на наличие перфораций. Оптимально, если при таком обследовании врач пользуется микроскопом – ведь при многократном увеличении можно разглядеть мельчайшие дефекты

Если патология в области бифуркации возникла в ходе лечения, то стоматолог должен обратить внимание на появление крови в полости. В этом случае можно с 99% уверенностью говорить именно о перфорации, которая нуждается в скорейшей реставрации

3.1 Понятие мягкой и жесткой потери устойчивости

Бифуркации условно можно разделить на мягкие и жёсткие, что наглядно демонстрируется следующим примером. На рис. 3.1 и рис. 3.2 изображён перестраиваемый профиль с шариком. В результате изменения какого-либо фактора (параметра), исходный профиль изменяет свою конфигурацию таким образом, что устойчивое равновесное состояние шарика теряется. При этом «рождаются» два новых устойчивых состояния равновесия, в один из которых и сваливается шарик. Вновь появившиеся состояния равновесия перестроившегося профиля располагаются в непосредственной близости от начального состояния равновесия, которое потеряло устойчивость. Бифуркации такого типа называют мягкими. Новый режим функционирования как бы постепенно появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.

Рис. 3.1 — перестраиваемый профиль с шариком

Характер перестроения профиля, изображённого на рис. 3.2, иной. Для значения параметра меньше критического шарик находится в устойчивом равновесном состоянии. Одновременно существует ещё одно потенциальное неустойчивое равновесное состояние. При перестроении профиля для критического значения параметра устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они оба исчезают, и система «скачком» выбирает новый режим, который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима. Бифуркации такого типа относятся к жёстким. Именно жёсткие (скачкообразные) бифуркации в первую очередь являются предметом исследования теории катастроф.

Рис. 3.2 — перестраиваемый профиль с шариком

4. Виды бифуркаций

В следующем разделе будут описаны основные виды и примеры бифуркаций как непрерывных, так и дискретных (отражений) функций.

Конкретные примеры в биологии

Сети с бифуркацией в своей динамике контролируют многие важные переходы в клеточном цикле . Все переходы , и действуют как биохимические переключатели в клеточном цикле . Например, яичные экстракты Xenopus laevis необратимо втягиваются в митоз и выходят из него за счет положительной обратной связи при фосфорилировании Cdc2, циклин-зависимой киназы .

В популяционной экологии динамика сетей взаимодействий пищевой сети может демонстрировать бифуркации Хопфа . Например, в водной системе, состоящей из первичного продуцента , минерального ресурса и травоядного животного, исследователи обнаружили, что закономерности равновесия, цикличности и исчезновения популяций можно качественно описать с помощью простой нелинейной модели с бифуркацией Хопфа.

Утилизацию галактозы у почкующихся дрожжей (S. cerevisiae) можно измерить по экспрессии GFP, индуцированной промотором GAL, в зависимости от изменения концентрации галактозы. В системе наблюдается бистабильное переключение между индуцированным и неиндуцированным состояниями.

Точно так же утилизация лактозы в E. coli как функция концентрации тиометилгалактозида (аналог лактозы), измеренная с помощью GFP-экспрессирующего промотора lac, демонстрирует бистабильность и гистерезис (рис. 10, слева и справа, соответственно).

2.1 Бифуркации в системах с простым движением

Негрубость системы означает негрубость тех или иных траекторий. Среди таких траекторий прежде всего выделяются устойчивые состояния равновесия и периодические движения, поскольку они являются математическим образом стационарных состояний и автоколебаний.

Состояние равновесия n-мерной системы \(\mathop x\limits^. = X(x)\) точка \(M({x^*})\), где \({x^*}\) — решение системы \(X(x) = 0\). Оно негрубое, если среди \({\lambda _{1,}}{\lambda _2}, …{\lambda _n}\) — корней характеристического уравнения \(\det (\frac{{\partial X({x^*})}}{{\partial x}} — \lambda E) = 0\) имеются корни, лежащие на мнимой оси. В случае, если \({\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} < 0,i = 1,…n \), состояние равновесия является устойчивым. Если имеются корни как с отрицательной, так и с положительной реальной частью, то состояние равновесия носит название седлового. К нему будут стремиться траектории как при \(t \to  + \infty \), так и при \(t \to  — \infty \) , в совокупности образуя устойчивое \({W^s}\) и неустойчивое \({W^u}\) многообразия. Периодическое решение \(x = \phi (t) \) этой системы будет негрубым, если среди мультипликаторов \({\rho _1},{\rho _2},…{\rho _{n — 1}}\) имеются равные по модулю 1. Если же \(\left| {{\rho _i}} \right| < 1\), периодическое движение устойчивое, и седловое, если среди мультипликаторов есть как лежащие внутри единичного круга, так и вне его.

В настоящее время основные (коразмерности 1) локальные и глобальные бифуркации таких траекторий подробно изучены.

Устойчивое состояние равновесия может:

1. исчезнуть, слившись с неустойчивым. В момент бифуркации у состояния равновесия, называемого седло-узел, только один характеристический корень лежит на мнимой оси и равен нулю.
2. потерять устойчивость. При этом из состояния равновесия будет рождаться (влипать в него) устойчивое (неустойчивое) периодическое движение, если в момент бифуркации состояние равновесия устойчиво (неустойчиво). Эта бифуркация, объясняющая генерацию колебаний, носит название Андронова-Хопфа.

Устойчивое периодическое движение может:

• исчезнуть, слившись с неустойчивым в момент бифуркации. Для \(n > 2\) негрубое периодическое движение носит название седло-узлового.
• потерять устойчивость с рождением устойчивого
  • периодического движения удвоенного периода, если мультипликатор равен (-1),
  • двумерного инвариантного тора, если \({\rho _{1,2}} = {e^{ \pm i\phi }}\), где \(\phi  \ne 0,\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3}\).

Устойчивые периодические движения могут также рождаться в результате следующих глобальных бифуркаций:

1. из траектории, идущей из седла с характеристическими корнями \({\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} < 0\), \(i=1, … ,n-1\), и седловой величиной \( \max {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} + {\lambda _n} < 0\)  в то же седло,
2. из траектории, идущей из седло-узла в него при исчезновении состояния равновесия,
3. при исчезновении седло-узлового периодического движения, все траектории неустойчивого многообразия которого, образуют в совокупности сильно сжимающуюся трубку, навивающуюся на периодическое движение. Эта бифуркация называется «катастрофой голубого неба» и ее особенность состоит в том, что при стремлении параметра к бифуркационному значению длина периодических движений стремится к бесконечности.

В случае коразмерности 1 седловые периодические движения могут рождаться из траектории, идущей 1) из седла в него же, 2) из негрубого состояния равновесия типа седло-седло в него же при его исчезновении (такое состояние равновесия образуется при слиянии двух грубых седел.)

Все перечисленные бифуркации не выводят из класса систем с простым поведением траекторий.

Разделение аорты

Аорта делится на артерии (общие подвздошные) в области четвертого поясничного позвонка. Эти сосуды длиной около 6 см направлены вниз и вбок под углом 30-60°. Левая общая подвздошная артерия чуть короче правой. Правая в районе соединения подвздошной кости с боковым отделом крестца делится на наружный и внутренний сосуд – по ним снабжаются кровью органы брюшины и ноги.

Точка бифуркации – слабое место аорты, здесь сосуд часто подвергается расслоению из-за постоянно повышенного кровяного давления. Кровь, разделяясь, завихряется и негативно воздействует на стенку аорты в месте бифуркации, провоцируя развитие:

• аневризмы – возникает из-за утраты сосудами эластичности и прочности. Пациенты нуждаются в срочной терапии – велика вероятность расслоения аневризмы, разрыва аорты и более серьезных последствий;
• тромбоза (синдром Лериша) – чаще диагностируется у пациентов преклонного возраста с атеросклерозом. Развивается медленно, при адекватном лечении прогноз благоприятный;
• эмболии – способна вызвать непроходимость крови, ишемические поражения сосудов ног, органов брюшины и таза. Требует хирургического вмешательства.

При развитии патологий бифуркации аорты нередко страдают почечные и общие подвздошные артерии. У четверти больных поражение распространяется еще дальше. Состоянию характерны выраженные боли. При перемежающейся хромоте, обусловленной поражением бифуркации аорты, они локализуются в бедрах и мышцах ягодиц. У мужчин патология понижает половое влечение и вызывает ослабление эрекции, иногда даже импотенцию.

Заметки

1. Blanchard, P .; Девани, Р.Л.; Холл, Г. Р. (2006). Дифференциальные уравнения. Лондон: Томпсон. С. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8.
2. Анри Пуанкаре. «L’Équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de Rotation«. Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, сентябрь 1885 г.
3. Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос. Эддисон-Уэсли. п. 262. ISBN 0-201-54344-3.
4. Ло, Динцзюнь (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем.. World Scientific. п. 26. ISBN 981-02-2094-4.
5. Джеймс П. Кинер, «Бифуркация бесконечного периода и ветви глобальной бифуркации», Журнал SIAM по прикладной математике, Vol. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.
6. Гуцвиллер, Мартин К. (1990). Хаос в классической и квантовой механике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.

Ипостаси понятия

Под бифуркацией обычно понимают состояние системы, поставленной перед выбором варианта развития (развилка дорог). Понятие используют в разных отраслях:

• медицина – деление трахеи и крупных сосудов на две ветки, расходящиеся под равными углами;
• география – разветвление речного русла;
• механика – обретение системой новых свойств при смене ее параметров;
• литература – разделение времени и пространства на два потока с разными событиями (параллельные реальности);
• математика – ветвление решений нелинейного дифференциального уравнения;
• философия – закономерность двойственности («Ян-Инь», мужское-женское).

В точке бифуркации (на развилке дорог) система не имеет достаточного равновесия. Самые незначительные случайности могут абсолютно изменить вектор дальнейшей эволюции, лишая систему шанса развиваться альтернативным путем. В жизни человека бифуркация – точка перелома, кардинально меняющая его жизнь.

Диагностика и терапия патологии

Для выявления негативных изменений бифуркации сосуда нужно пройти медицинское обследование:

От: admin

Эта тема закрыта для публикации ответов.